Wartość bezwględna liczby
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej \( x \) definiujemy wzorem: \begin{equation*} |x| = \biggl\{ \begin{array}{} \;\;\;x\;\;\; dla\; x\geq0 \\ -x\;\;\; dla\; x<0 \end{array} \end{equation*}
Przykład:
Policzmy wartość bezwzględną z liczby \( 5 \): \( \\\\ \)Zauważmy, że \( 5>0 \), tak więc \( |5|=5 \).
Policzmy wartość bezwzględną z liczby \( -7 \): \( \\\\ \)Zauważmy, że \( -7<0 \), tak więc \( |-7|=-(-7)=7 \).
Odległość od punktu 0 na osi liczbowej
Liczba \( |x| \) jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej \( x \) od punktu o współrzędnej 0.
Przykład:
Na powyższym przykładzie została zaznaczona na czerwono odległość liczby -7 od 0, oraz na niebiesko liczby 5 od 0.
Dla dowolnej liczby \( x \) mamy: \begin{equation*} |x| \geq 0 \;\;\;\;\;\; |x| = 0 \;\; \text{wtedy i tylko wtedy, gdy } x = 0 \;\;\;\;\;\; |-x| = |x| \end{equation*}
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \( x,y \) mamy: \begin{equation*} |x+y| \leq |x|+|y| \;\;\;\;\;\; |x-y| \leq |x|+|y| \;\;\;\;\;\; |x \cdot y| = |x|\cdot|y| \end{equation*}
Przykład:
Niech \( x=6 \) i \( y=-2 \), wtedy: \begin{equation*} |6+(-2)|=|6-2|=|4|=4 \\\\ |6-(-2)|=|6+2|=8 \\\\ |6|+|-2|=6+2=8 \\\\\\ |6\cdot(-2)| = |-12| = -(-12)=12 \\\\ |6|\cdot|-2|=6\cdot 2=12 \end{equation*} Tak więc otrzymujemy: \begin{equation*} |6+(-2)|<|6|+|-2|\\\\ |6-(-2)|=|6|+|-2|\\\\ |6\cdot(-2)| = |6|\cdot|-2| \end{equation*}
Niech \( x=5 \) i \( y=3 \), wtedy: \begin{equation*} |5+3|=|8|=8 \\\\ |5-3|=|2|=2 \\\\ |5|+|3|=5+3=8 \\\\\\ |5\cdot 3|=|15|=15 \\\\ |5|\cdot |3| = 5\cdot 3 = 15 \end{equation*} Tak więc otrzymujemy: \begin{equation*} |5+3|=|5|+|3|\\\\ |5-3|<|5|+|3|\\\\ |5\cdot 3|=|5|\cdot|3| \end{equation*}
Ponadto, jeśli \( y \neq 0\), to: \begin{equation*} \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \end{equation*}
Przykład:
Niech \( x=-3 \) i \( y=7 \), wtedy: \begin{equation*} \left|\frac{-3}{7}\right| = \left|-\frac{3}{7}\right| = -\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{3}{7}\\\\ \frac{|-3|}{|7|} = \frac{-(-3)}{7}=\frac{3}{7} \end{equation*}
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \( a \) oraz \( r \geq 0 \) mamy: \begin{equation*} |x-a| \leq r \;\; \text{wtedy i tylko wtedy, gdy } a-r \leq x \leq a+r \\ \\ |x-a| \geq r \;\; \text{wtedy i tylko wtedy, gdy } x \leq a-r \text{ lub } x \geq a+r \end{equation*}
Przykład:
Niech \( a=2 \) i \( r=3 \), wtedy: \begin{equation*} |x-2|\leq 3\;\; <=>\;\; -1\leq x \leq 5 \\\\ |x-2|\geq 3\;\; <=>\;\; x\leq -1\;\; lub\;\; x\geq 5 \end{equation*}